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实现功能

给定$a>0$，求$\sqrt{a}$的值

实现方法

现有预测值$x_0$，借助某种简单方法确定矫正量$\Delta x$，使得校正值$x_1=x_0+\Delta x$更接近真实值。即令 $(x_0+\Delta x)^2 \approx a$ 成立。

设$\Delta x$是个小量，舍去展开式中的高阶小量$(\Delta x)^2$，令 $x_0^2+2x_0\Delta x=a$，从中解出 $\Delta x$ 可得校正值$\Delta x = \frac{1}{2}(\frac{a}{x_0}-x_0)$

反复计算可得迭代公式 $x_{k+1} = \frac{1}{2}(x_k+\frac{a}{x_k})\ \ \ k=1,2,3,\cdots$ ，直到$x_{k+1}-x_k<\varepsilon$为止($\varepsilon$为给定阈值)

例

• 求$\sqrt2$的值（$a=2,x_0=1,\varepsilon=10^{-6}$）

  $k$	$x_k$
  0	1
  1	1.500000000
  2	1.416666667
  3	1.414215686
  4	1.414213562
  5	1.414213562

  求得$\sqrt2\approx1.414214$

实现代码

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